Pengertian Aljabar Boolean & Teori Dasar boolean

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.

Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.

Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

Boolean atau Logika Biner
Logika memberi batasan yang pasti dari suatu keadaan. Sehingga keadaan tersebut tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Karena itu, dalam logika dikenal aturan aturan sebagai berikut :
Suatu keadaan tidak dapat benar dan salah sekaligus.Masingmasing adalah hanya benar atau salah (salah satu).Suatu keadaan disebut BENAR bila TIDAK SALAH. Dua keadaan itu dalam aljabar boole ditunjukkan dengan dua konstanta, yaitu logika “1” dan logika “0”. Misal :
Logika “1” Logika “0”
Benar Salah
Hidup Mati
Siang Malam
Contoh diatas dapat dituliskan :
Tidak Benar atau Benar = Salah
Tidak Hidup atau Hidup = Mati
Tidak Siang atau Siang = Malam
Tanda garis atas dipakai untuk menunjukkan pertentangan atau lawan dari keadaan itu. Sehingga tanda garis tersebut merupakan pertentangan logika (Logical Inversion) yang mempunyai fungsi untuk menyatakan “Tidak” (Not).
Ā = Tidak A atau Ā = NOT A
Himpunan adalah kumpulan dari elemen yang setidaknya memiliki sifat yang sama, dan bisa memiliki kelompok yang terbatas atau tidak terbatas jumlahnya. Misalnya himpunan mahasiswa politeknik. Himpunan tersebut tentu saja terdiri dari bermacammacam kelompok. Jika dapat diambil tiga kelompok :
Kelompok yang berasal dari luar jawa : J.
Kelompok yang sedang kuliah : K.
Kelompok yang mengerjakan laporan akhir : L.
Sehingga seseorang setidaknya masuk dalam satu kelompok tersebut, bahkan dapat terjadi masuk dalam dua kelompok sekaligus. Misalnya mahasiswa luar jawa yang sedang mengerjakan laporan akhir, berarti masuk kelompok J dan L (J AND L). J AND L dituliskan juga dengan J . L.
Gabungan antara mahasiswa luar jawa dan mahasiswa yang mengerjakan laporan akhir memiliki pengertian : mahasiswa luar jawa atau mahasiswa mengerjakan laporan akhir, J atau L (J OR L). J OR L dituliskan juga dengan J + L. Logika Biner (gerbang Boolean) adalah rangkaian digital yang menerima satu atau lebih masukan tegangan untuk memperoleh keluaran tertentu sesuai dengan aturan boole yang berlaku.
Jika membicarakan komputer, maka perbedaan tegangan yang digunakan sebagai on/off atau nilai biner 1/0. nilai 1 ekivalen dengan tegangan +5 volt dan nilai 0 ekivalen dengan tegangan 0 volt. Perhatikan Gambar 2.4. yang menunjukkan lambang gerbanggerbang dasar NOT, AND dan OR. Sedangkan Tabel 2.14. menunjukkan tabel kebenaran dari logika gerbanggerbang dasar yang ada.

Gerbang NOT membutuhkan minimal 1 masukan agar dapat berfungsi, sedangkan gerbang lainnya membutuhkan minimal 2 masukan. Dari tabel 1.14. diatas dapat dilihat bahwa gerbang AND hanya akan bernilai 1 pada keluarannya, jika semua masukannya bernilai 1. Sedangkan gerbang OR akan bernilai 1 pada keluarannya, jika salah satu atau semua masukannya bernilai 1. Salah satu contoh komponen penyusun komputer yang menggunakan gerbang adalah memory.
Selain gerbanggerbang dasar yang telah disebutkan, ada juga gerbanggerbang kombinasi yang merupakan campuran dari beberapa gerbang dasar. Diantaranya adalah gerbang NAND, NOR, XOR, dan XNOR. Gambar 2.5. berikut menunjukkan tentang lambang lambang gerbang kombinasi yang ada.

Gerbang NAND = NOT AND
F = A· B
Gerbang NOR = NOT OR
F = A+ B
Gerbang XOR = A . B + A . B
F = AÅ B
Gerbang XNOR = A . B + A . B
F = AÅ B
Selain gerbang dasar dan gerbang kombinasi diatas, terdapat satu lagi gerbang logika yang berfungsi sebagai penyangga (Buffer). Gerbang Buffer tidak mengubah masukan tetapi berfungsi untuk menguatkan sinyal masukan. Selain memperkuat sinyal masukan, Buffer juga berfungsi untuk menambah waktu tunda (time delay).

Teori Dasar Aljabar Boolean

            Teori dasar Aljabar Boolean terdiri dari: Elemen Identitas (x + 0 = x dan x . 1 = x), Komplemen (x + x’ = 1 dan x . x’ = 0), Tertutup (x + x =x; x + 1 = 1 dan x . x = x; x .0 = 0), Involusi ((x’)’ = x), Komutatif (x + y = y + x dan xy = yx), Asosiatif (x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z), Distributif (x (y + z) = xy + xz dan x + (yz) = (x + y)(x + z)), De Morgan ( ( x + y)’ =x’y’ dan (xy)’ = x’ + y’), Absorpsi ( x + xy = x dan x ( x + y) = x ).

            Komplemen fungís merupakan statu fungsi yang memberikan nilai keluaran berkebalikan dengan fungsi awalnya. Sebagai conti suatu fungsi ( 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0). Sebagai contoh suatu fungsi K = (yz + x’y), Maka komplemennya adalah K’ = (y’ + z’)(x + y’).

            Fungsi Boolean-Bentuk Kanonikal terdiri dari dua terms, yaitu minterms dan maxterms, dimana setiap terms terdiri atas semua variabel yang ada.

Contoh:

K (x, y, z) = x’y’z + xy’z’

L (o, p, q) = (o + p’ + q)(o’ + p + q’)

            x’y’z , xy’z’ disebut minterms

            (o + p’ + q), (o’ + p + q’) disebut maxterms

            Funsi boolean bentuk standar terdiri dari 2 yaitu SOP (Sum of Product) dan POS (Product of Sum). SOP terdiri dari beberapa gerbang AND dan satu gerbang OR. Sebaliknya POS terdiri dari beberapa gerbang OR dan satu buah gerbang AND.

Penyederhanaan Fungsi Boolean

            Penyederhanaan sangat perlu dilakukan untuk membuat suatu fungsi menjadi lebih efisien dan mudah dipahami. Ada tiga cara penyederhanaan fungsi, yaitu: Menggunakan aturan Aljabar Boolean (secara matematis), Menggunakan Karnaugh map (K-map), dan menggunakan tabulasi (Quine McCluskey).

            Contoh dalam menggunakan aturan aljabar Boolean:

K   = ABC’ +A’BC + ABC + A’BC’

      = AB(C + C’) + A’B(C + C’)

      = AB(1) + A’B(1)

      = A(B + B’)

      = A(1)

      = A

L    = (B + C’) C

      = BC + CC’

      = BC + 0

      = BC

Cara kedua adalah menggunakan K-map. Dengan ketentuan sebagai berikut: Setiap kombinasi variabel (minterms) dipetakan ke kotak yang unik, setiap 2ⁿ kotak bernilai 1 yang berdekatan (mempunyai beda nomor kotak 1 bit) digabungkan, hasil yang didapatkan dalam bentuk sum of product (SOP), bisa digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean dengan jumlah variabel 2, 3, 4, dst.

 Sumber:

          http://pandukristiyanto89.wordpress.com/2010/10/19/aljabar-boolean/